超越无限:康托不可思议的证明

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照片信用:Patrick Gage Kelley /FLICKR

如果你是去年夏天数以百万计的观众中的一员《星运里的错这部电影是根据约翰·格林(John Green)的同名小说改编的,你可能会被影片接近结尾时说出的一条数学智慧所震撼:“有些无穷远比其他无穷远大。”

乍一看,这可能看起来有点奇怪的情绪。毕竟,一个永无止境的数字集的数量比另一种永无止境的数字集更大?难以概念化无限的庞大浩瀚,它反对所有直觉,以想象一个无限数量可能比另一个更大。但这就是这样恰好是真的,而且它的证据在其简单之处在于它相当雄辩。

但首先,一些定义。有两种类型的无限,我将在谈论:清晰和更不上市。这些有时被称为可数名词和不可数的,但我更喜欢用前一种命名法,因为从技术上讲,没有无限是可数的,我们通常认为是可数的,指的是有限数量的事物。

可列式无限是更小类型的无限,最容易概念化。在这种无穷大中包括整数、偶数和有理数等集合。

这些中最简单的是自然数,它从一个开始,并且永远增加一个:1,2,3,4,等等。如果您在世界上没有结束的时间,纸张和墨水,则可以在这套中写下每一个数字,这就是它们被称为“清单的信息”的原因。

这同样适用于偶数。只要取一组自然数,将每个元素都乘以2:2、4、6、8,直到无穷远。这个新的偶数集合对第一个集合中的每个元素都有一个元素,因此这两个元素在大小上是相等的。实际上,您可以将第一个集合乘以或除以任何整数来获得一个新的可列的无穷大。类似地,用一点小技巧,你可以把所有分数的集合映射到自然数的集合上,证明尽管它们都是无限长的,但它们的大小是相同的。

现在我们已经表明您可以列出某些信息的内容,是时候证明对方了。在这样做,我们会看到这种类型的无限,不上,实际上比另一个更大。

图片:您可以​​在您和手中有一个数字线。通过突出显示该号码的任何部分,您刚刚分开了一段无限的无限远,实际上大于前一段中提到的那些 - 即不上无限的无穷大。即使是该号码的一小部分也包含无休止的大量数字。

考虑0和1之间的空间。无论你多么聪明地试图列出这两个数之间的所有数并将它们映射到自然数集合,这都是不可能的。为了演示这一点,我们将做一点实验由德国数学家康托发现。拿起一支笔,把小于1和大于0的数字列出来,这样至少能写出5位左右的小数。它应该看起来像这样:

0.1234567234……
0.3141592653……
0.0000060000……
0.2347872364 ......
0.1111888388 ......

现在,从你列出的第一个数字开始,圈出小数点的第一位。然后圈出下一个数的小数点后两位,以此类推。你应该有一对角线圈出的数字。

0。1234567234……
0.3141592653……
0.0000060000 ......
0.2347872364 ......
0.1111.888388 ......

在你圈出来的数字中创建一个新的数字。例如,我的值是0.11078,如果我不断在我的列表中添加数字,它就会一直持续下去。

为了证明此列表确实是无止境的,并且我永远无法以这样的方式写入,我将包括0到1之间的每个数字,我将采取我从列表中创建的新号码并进行一些更改根据以下规则:每次列表中有0个,我会使其成为1,并且所有其他数字都将变为0.我的新号码0.00100现在与该列表中的其他一个不同。由于我们灌输的规则,我们知道这是真的。

我们可以继续从无限列表中创建新号码,但通过施工,新的一个将始终具有比以前任何一个不同的数量。同样,而不是将数字更改为0和1,我们可以向每个条目(或减去3,或者创建任何任意类似的类似规则,这些规则更改列表中的第n个号码的第n个数字)并获得更多数字以前没有在我们的名单上。因此,任何创建无外无限度的全面列表的任何企图都会失败。无论如何构建此列表,我们都会缺少无限数量的数字。

通过康托的证明,我们可以看到有些无穷大确实比其他无穷大大,尽管可能不是你最初想的那样。所以,下次你再看《星河里的错》或看《玩具总动员》时,听到巴斯光年喊出他的名言时,你可以为自己知道在无限之外到底是什么而感到自豪。

P.S.即使我们已经讨论了它的数学,一个无限远的想法也比另一个更大的想法仍然非常难以内化。如果您在阅读时没有手纸和纸张,并且希望更好地了解所涉及的数学数学,请查看此帮助视频:

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